一個四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長為2的正方形及其一條對角線，側視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形，直角邊長為2，直觀圖如圖．
（1）求四棱錐P一ABCD的體積：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M為棱PB上的點，當PM長為何值時，CM⊥PA？
（1）由三視圖可知，PD⊥平面ABCD，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=
1
3
SABCD•PD=
8
3
；
（2）如圖，以D為坐標原點，分別以DP、DC、DA所在
直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設CP中
點為E，則OE⊥PC，OE⊥BC，所以
OE
是平面PBC的法向量；設AP中點為F，同理
可知
OF
是平面PAB的法向量．
知
OF
是平面PAB的法向量．
OE
=(1，1，0)，
OF
=(1，0，1)，
設二面角C-PB-A的平面角為θ，則|cosθ|=|
OE
•
OF
|
OE
|•|
OF
|
=
1
2
，顯然θ＞
π
2
，
所以二面角C-PB-A大小為
2π
3
；
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共線，
∴可設
PM
=k•
PB
=(-2k，2k，2k)，k∈R，
CM
=
CP
+
PM
=(2-2k，-2+2k，2k)，
PA
=(-2，0，2)，
∵CM⊥PA，所以
CM
•
PA
=8k-4=0，∴k=
1
2
∴
PM
=(-1，1，1)，|
PM
|=
3

∴PM的長為
3
時，CM⊥PA
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（理科做）（1）證明：面APC⊥面BEF；
（2）求平面PBC與平面PCD夾角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，已知AB=1，AC=BD=2，CD=
5
，則二面角α-l-β的余弦值為______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=2，△PCB為正三角形，且平面PCB⊥平面ABCD，M，N分別為BC，PD的中點．
（1）求證：MN∥面APB；
（2）求二面角B-NC-P的余弦值；
（3）求四棱錐P-ABCD被截面MNC分成的上下兩部分體積之比．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，側棱與底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，BC=
2
，AA′=
6
2
．
（I）求證：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC上的點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A′．
（1）△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中點，求證：EQ⊥平面A′FD
（2）當E、F分別是AB、BC的中點時，求二面角A′-EF-D的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把這個長方體截成兩個幾何體：
（Ⅰ）設幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V1、V2，求V1與V2的比值；
（Ⅱ）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是(　　)．
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，給出下列四個命題：
①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，則l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m.
其中正確命題的個數(shù)是________．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案