Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的

2

倍，且橢圓C經(jīng)過點M(2，

2

)．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過圓O：x2+y2=

8

3

上的任意一點作圓的一條切線l與橢圓C交于A、B兩點．求證：

OA

•

OB

為定值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程，利用長軸長是短軸長的

2

倍，且橢圓C經(jīng)過點M(2，

2

)，求出幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（2）分類討論，利用數(shù)量積公式，結(jié)合直線與圓相切，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵長軸長是短軸長的

2

倍，
∴橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1
∵M(2，

2

)在橢圓C上
∴

4

2b2

+

2

b2

=1
∴b²=4
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）證明：當切線l的斜率不存在時切線方程為x=±

2 6

3

與橢圓的兩個交點為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）
此時

OA

•

OB

=0；
當切線l斜率存在時，可設l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
則△=8k²-m²+4＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

∵l與圓x2+y2=

8

3

相切
∴d=

|m|

1+k2

=

8 3

∴3m²=8k²+8
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

3m2-8k2-8

1+2k2

=0
綜上所述

OA

•

OB

=0為定值．

點評：本題考查橢圓的方程，考查數(shù)量積公式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．