Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

3π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）因?yàn)閤∈[

π

4

，

3π

4

]，所以2x+

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（cosx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
由此可得：函數(shù)的最小正周期是

2π

2

=π，最大值是

2

+1；
（2）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得sin（2x+

π

4

）∈[-1，

2

2

]
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1的最大值為f（

π

4

）=2，
最小值是為f（

5π

8

）=1-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與最值，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．