Question

 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，數(shù)列是等差數(shù)列，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為．

（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，求滿足

的正整數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

，符合要求的一共有5個(gè)

解析:

解：（1）若，因?yàn)?，6，7 ，則5，6，7，

        由此可見(jiàn)，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項(xiàng)，

        所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項(xiàng)，

        若，則， 若，則，

                              若，則；

        （2）首先對(duì)元素2進(jìn)行分類(lèi)討論：

             ①若2是數(shù)列的第2項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得

，這顯然不可能；

             ②若2是數(shù)列的第3項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，

               因?yàn)閿?shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的，

        所以，則，因此數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，2，，4，

               這樣，

            則數(shù)列的前9項(xiàng)分別為1，，2，，4，，，，8，

                                  上述數(shù)列符合要求；

③若2是數(shù)列的第項(xiàng)（），則，

即數(shù)列的公差，

  所以，1，2，4<，所以1，2，4在數(shù)列的

前8項(xiàng)中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項(xiàng)，

它們均小于8，

即數(shù)列的前9項(xiàng)均小于8，這與矛盾。

                               綜上所述，，

         其次，當(dāng)時(shí)， ，

                          ，，

          當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)?img width=31 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/103/129303.gif" >是公差為的等差數(shù)列，

          所以，

          所以，

此時(shí)的不符合要求。所以符合要求的一共有5個(gè)