Question

1．在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x²+y²=b²經過橢圓$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（0＜b＜2）的焦點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設直線l：y=kx+m交橢圓E于P，Q兩點，T為弦PQ的中點，M（-1，0），N（1，0），記直線TM，TN的斜率分別為k₁，k₂，當2m²-2k²=1時，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）橢圓E的焦點在x軸上，圓O：x²+y²=b²經過橢圓E的焦點，所以橢圓的半焦距c=b，所以2b²=4，即b²=2，即可求出橢圓E的方程；
（2）求出T的坐標，利用斜率公式，結合條件，即可求k₁•k₂的值．

解答 解：（1）因0＜b＜2，所以橢圓E的焦點在x軸上，
又圓O：x²+y²=b²經過橢圓E的焦點，所以橢圓的半焦距c=b，…（3分）
所以2b²=4，即b²=2，所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（6分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），T（x₀，y₀），
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，又2m²-2k²=1，所以x₁+x₂=$-\frac{2k}{m}$，
所以${x_0}=-\frac{k}{m}$，${y_0}=m-k•\frac{k}{m}=\frac{1}{2m}$，…（10分）
則${k_1}•{k_2}=\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{k}{m}+1}}•\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{k}{m}-1}}=\frac{1}{{4{k^2}-4{m^2}}}=\frac{1}{{-2（2{m^2}-2{k^2}）}}=-\frac{1}{2}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．