Question

3．對(duì)于函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$，有如下三個(gè)命題：
①f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2n-3，2n-2]（n∈N^*）
②f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）
③若-2＜a≤0，則方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，0]內(nèi)有3個(gè)不相等的實(shí)根
其中，真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 畫出函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合分析三個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

由圖可得：①f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2n-3，2n-2]（n∈N^*），故①正確；
②f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），故②正確；
③若-2＜a≤0，則方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，0]內(nèi)至多有有2個(gè)不相等的實(shí)根，故③錯(cuò)誤；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)的值域，函數(shù)的根與方程的零點(diǎn)，難度中檔．