Question

如圖，四面體ABCD中，O．E分別為BD．BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求 異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，用運算的方式來證明結論．
（2）取AC中點F，連接OF．OE．EF，由中位線定理可得EF∥AB，OE∥CD所以∠OEF（或其補角）是異面直線AB與CD所成角，然后在Rt△AOC中求解．
解答：解：（1）證明：△ABD中
∵AB=AD=，O是BD中點，BD=2
∴AO⊥BD且=1
△BCD中，連接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且
△AOC中AO=1，CO=，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD

（2）取AC中點F，連接OF．OE．EF
△ABC中E．F分別為BC．AC中點
∴EF∥AB，且
△BCD中O．E分別為BD．BC中點
∴OE∥CD且
∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補角）
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線∴
∴等腰△OEF中
點評：本題主要考查線線，線面，面面垂直的轉化及異面直線所成角的求法，同時，考查了轉化思想和運算能力，是常考類型，屬中檔題．