Question

在△ABC中，已知ln（sinA+sinB）=lnsinA+lnsinB-ln（sinB-sinA）．且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）試確定△ABC的形狀；
（2）求

a+c

b

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,正弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）依題意，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得sin²B-sin²A=sinA•sinB，①，再由兩角和與差的余弦及二倍角的余弦公式，由cos（A-B）+cosC=1-cos2C可得sinA•sinB=sin²C，②，聯(lián)立①②即可判斷△ABC的形狀；
（2）由（1）知△ABC為Rt△，且B為直角，利用正弦定理及輔助角公式可得

a+c

b

=

2

sin（A+

π

4

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得

a+c

b

的取值范圍．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵ln（sinA+sinB）=lnsinA+lnsinB-ln（sinB-sinA），
∴l(xiāng)n[（sinA+sinB）（sinB-sinA）]=ln（sinA•sinB），
∴sin²B-sin²A=sinA•sinB，①
又cos（A-B）+cosC=1-cos2C，
∴cos（A-B）-cos（A+B）=2sinA•sinB=2sin²C，即sinA•sinB=sin²C，②
聯(lián)立①②得：sin²B-sin²A=sin²C，由正弦定理可得，b²=a²+c²，
∴△ABC為Rt△；
（2）在△ABC中，由（1）知△ABC為Rt△，且B為直角，
由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=sinA+sinC=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
∵A∈（0，

π

2

），（A+

π

4

）∈（

π

4

，

3π

4

），sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，即

a+c

b

的取值范圍為：（1，

2

]．

點(diǎn)評：標(biāo)題考查三角形的形狀判斷，考查正弦定理與兩角和與差的余弦、二倍角的余弦的綜合應(yīng)用，考查扥就轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．