Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）2﹣ ． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1 ， x2 ， 證明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， f'（x）=0x=1，當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增
（Ⅱ）證明： ，f（0）=1，不妨設(shè)x1＜x2 ，
又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，
又函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，
所以x1+x2＞2x1＞2﹣x2等價(jià)于f（x1）＜f（2﹣x2），
即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．
又 ，而 ，
所以 ，
設(shè)g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex ， 則g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g'（x）＞0，而g（1）=0，故當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0．
而 恒成立，
所以當(dāng)x＞1時(shí)， ，
故x1+x2＞2．
【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性即可．（Ⅱ）不妨設(shè)x1＜x2 ， 推出0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，利用函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，得到x1＞2﹣x2 ， 轉(zhuǎn)化為：0=f（x1）＜f（2﹣x2）．求出 ，構(gòu)造函數(shù)設(shè)g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex ， 再利用形式的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．