Question

設(shè)橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓E上一點(diǎn)，AF₁⊥F₁F₂，原點(diǎn)到直線AF₂的距離是|OF₁|．△AF₁F₂ 的面積是等于橢圓E的離心率e，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ），若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)m使∠BF₂C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）表示出直線AF₂的方程，利用原點(diǎn)O到直線AF₂的距離為|OF₁|，及c²=a²-b²，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）將直線y=x+m代入并化簡，利用韋達(dá)定理，結(jié)合∠BF₂C是鈍角，得，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），∵AF₁⊥F₁F₂，，不妨設(shè)A（-c，y）（y＞0），
又∵點(diǎn)A在橢圓上，∴y=，從而得A（-c，），直線AF₂的方程為y=-，
整理可得b²x+2acy-b²c=0，由題設(shè)，原點(diǎn)O到直線AF₂的距離為|OF₁|，
即，將c²=a²-b²代入上式化簡得a²=2b²①
由題設(shè)②，①②聯(lián)立得b=1，a=，
∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），將直線y=x+m代入并化簡得3x²+4mx+2m²-2=0，由韋達(dá)定理知x₁+x₂=-，x₁x₂=，
且△=16m²-24（m²-1）＞0，∴|m|＜，
由題設(shè)∠BF₂C是鈍角，得．
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
化簡可得3m²+4m-1＜0，∴，滿足|m|＜，當(dāng)m=-1時(shí)，B，F(xiàn)₂，C三點(diǎn)共線，
故存在m∈滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．