Question

【題目】己知數(shù)列：1，，，3，3，3，，，，，…，，即當(dāng)（）時(shí)，，記（）．

（1）求的值；

（2）求當(dāng)（），試用n、k的代數(shù)式表示（）；

（3）對(duì)于，定義集合是的整數(shù)倍，，且，求集合中元素的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）1888；（2），（）；（3）65.

【解析】

（1）令，解得，分析規(guī)律可得，，，，，，，由此即可求出；

（2）當(dāng)（）時(shí)，，分別求出為奇數(shù)時(shí)和為偶數(shù)時(shí)的表達(dá)式，最后用n、k的代數(shù)式表示即可；

（3）首先時(shí)，，滿足條件，故，此時(shí)n取1個(gè)整數(shù)，由（2）知，當(dāng)（）時(shí)，可得，由可得，必為偶數(shù)，令，解得，從而依次令，，，，，結(jié)合，分別求出n取整數(shù)的個(gè)數(shù)即可得到最終結(jié)果.

（1）依題意，令（），解得，

分析規(guī)律可得，，，，，

，，

則

；

（2）當(dāng)（）時(shí)，

，

若為奇數(shù)，

；

若為偶數(shù)，

.

綜上所述，，（）；

（3）首先時(shí)，，滿足條件，故，此時(shí)n取1個(gè)整數(shù)；

由（2）知，當(dāng)（）時(shí)，

，又，

則，

由可得，必為偶數(shù)，

令，解得，所以有：

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，故n可取3個(gè)整數(shù)；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，故n可取5個(gè)整數(shù)；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，故n可取7個(gè)整數(shù)；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，故n可取63個(gè)整數(shù)；

綜上，集合中元素的個(gè)數(shù)為：