Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz；
（Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)系，求出

DQ

、

DC

、

PQ

的坐標(biāo)，由向量積的運(yùn)算易得

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0；進(jìn)而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；
（Ⅱ）依題意結(jié)合坐標(biāo)系，可得B、

CB

、

BP

的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的PBC的法向量

n

與平面PBQ法向量

m

，進(jìn)而求出cos＜

m

，

n

＞，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，可得答案．

解答：解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz；
（Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
則

DQ

=（1，1，0），

DC

=（0，0，1），

PQ

=（1，-1，0），
所以

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依題意，有B（1，0，1），

CB

=（1，0，0），

BP

=（-1，2，-1）；
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
則

n • CB =0 n • BP =0

即

x=0 -x+2y-z=0

，
因此可取

n

=（0，-1，-2）；
設(shè)

m

是平面PBQ的法向量，則

m • BP =0 m • PQ =0

，
可取

m

=（1，1，1），
所以cos＜

m

，

n

＞=-

15

5

，
故二面角角Q-BP-C的余弦值為-

15

5

．

點(diǎn)評：本題用向量法解決立體幾何的常見問題，面面垂直的判定與二面角的求法；注意建立坐標(biāo)系要容易求出點(diǎn)的坐標(biāo)，頂點(diǎn)一般選在有兩兩垂直的三條直線的交點(diǎn)處，這樣才有助于下一步的計(jì)算．