已知圓O：(x－1)2+(y－2)2=25及直線l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)

　　(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓O恒相交；

　　(2)求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程。

 

答案：
解析：

(1)∵(3－1)2+(1－2)2=5<25，

∴點(diǎn)(3，1)在圓內(nèi)部。

∴不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交。

(2)從(1)的結(jié)論知直線l過定點(diǎn)M(3，1)且與過此點(diǎn)的圓O的半徑垂直時(shí)，l被圓所截的弦長(zhǎng)最短，由垂徑定理知

=2，

此時(shí)所以－，得

，代入，得直線l方程為2x－y－5=0。

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量
a
=(mx，2(y-2))，
b
=(x，y+2)（m∈R），且滿足
a
⊥
b
，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程，并說明該方程所表示的軌跡的形狀；
（Ⅱ）若已知圓O：x2+y2=1，當(dāng)m=1時(shí)，過點(diǎn)M作圓O的切線，切點(diǎn)為A、B，求向量
OA
•
OB
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=
3
3
(x+4)．
（1）設(shè)圓O與x軸的兩交點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，若從F1發(fā)出的光線經(jīng)l上的點(diǎn)M反射后過點(diǎn)F2，求以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)M的橢圓方程；
（2）點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，從點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)l反射后與圓O相切．若光線從射出經(jīng)反射到相切經(jīng)過的路程最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：(x+
3
)2+y2=16，點(diǎn)A(
3
，0)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交OQ于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，△AOB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S=
4
5
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知圓O：(x－1)2+(y－2)2=25及直線l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)

　　(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓O恒相交；

　　(2)求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程。

 

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