Question

棱P-ABCD的底面是正方形PD⊥ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=

2

，AB=1，且E為PB的中點時，求①AE與平面PDB所成的角的大�。虎谇螽惷嬷本�AE和CD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：AC⊥BD，并且PD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，進而由面面垂直的判定定理可得面面垂直．
（Ⅱ）①設(shè)AC∩BD=O，連接OE，所以∠AEO為AE與平面PDB所的角，根據(jù)題中的線面關(guān)系與線段的長度關(guān)系可得：在Rt△AOE中，∠AOE=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．
②因為AB∥CD，所以∠EAB為異面直線AE和CD所成角（或其補角），根據(jù)題中的線面關(guān)系與線段的長度關(guān)系可得：在△EAB中有∠EAB=60°，即異面直線AE和CD所成角為60°

解答：證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
解：（Ⅱ）①設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，
∴O，E分別為DB、PB的中點．
∴OE∥PD，OE=

1

2

PD，
又∵PD⊥平面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=

1

2

PD=

2

2

AB=AO，
∴∠AOE=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．
②∵AB∥CD，
∴∠EAB為異面直線AE和CD所成角（或其補角）．
∵BA⊥AD，BA⊥PD，
∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AP
∵在△EAB中AE=

1

2

BP=1，BE=

1

2

BP=1，AB=1
∴∠EAB=60°
即異面直線AE和CD所成角為60°

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角與兩條異面直線的夾角問題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．