Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2AD=2，，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD=1，求AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，
又∵PD∩BD=D，∴AD⊥平面PBD，
又∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）如圖，分別以DA、DP、DB為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），，P（0，0，1），，
∴，，，
設(shè)平面PBC的法向量為，則，
解得，
設(shè)AP與平面PBC所成角為θ，則． 
分析：（I）由AB²=AD²+BD²，知AD⊥BD，由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，由PD∩BD=D，知AD⊥平面PBD．由此能夠證明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）分別以DA、DP、DB為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，求出平面PBC的法向量，由此能求出AP與平面PBC所成角的正弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．