Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，，是等邊三角形，點在上，且．

（1）證明：//平面．

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點，通過證明//，即可推證線面平行；

（2）取中點為，以為坐標原點建立空間直角坐標系，求得對應平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）連接交于點，連接．

∵在等腰梯形中，，，

//，∴，∵，∴，

∴，∴//，

又平面，平面，

∴//平面．

（2）取的中點，的中點，連接，，顯然．

又平面平面，平面平面，

所以平面．

因為、分別為、的中點，且在等腰梯形中，，

所以．以為原點建立如所示的空間直角坐標系，

設，則，

，，，

∴，

∴

易得為平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為，

可得，故，

令，可得，，則．

設二面角的平面角為，則，

即二面角的余弦值為．