Question

16．若函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x+1）在（$\frac{1}{2}$，1）上恒有f（x）＞1，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得ax²+2x+1＞2在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立，即只需令g（x）=ax²+2x+1在（$\frac{1}{2}$，1）上的最小值大于2即可．然后根據(jù)a的取值討論g（x）的最小值．

解答 解：∵f（x）=log₂（ax²+2x+1）在（$\frac{1}{2}$，1）上恒有f（x）＞1，
∴ax²+2x+1＞2在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立．
令g（x）=ax²+2x+1，
（1）當a=0時，g（x）=2x+1在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)，g_min（x）=g（$\frac{1}{2}$）=2，符合題意．排除B，C．
（2）當a＞0時，g（x）=ax²+2x+1，對稱軸為x=$-\frac{1}{a}$，
∴g（x）=ax²+2x+1在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)，
g_min（x）=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{4}+2$＞2，符合題意．排除D．
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，分類討論思想，屬于中檔題．