Question

已知函數(shù)f（x）=（2

3

cosωx+sinωx）sinωx-sin²（

π

2

+ωx）（ω＞0），且函數(shù)y=f（x）的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）=2^x-2^-x的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=2sin(2ωx-

π

6

)，由函數(shù)y=f（x）對稱中心到最近的對稱軸的距離為

π

4

，知

T

4

=

π

4

，可得T=π，

2π

2ω

=π，ω=1，所以解得：f（x）=2sin（2x-

π

6

），由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ．
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，即可求得-1≤f（x）≤2，即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

cosωxsinωx+sin²ωx-cos²ωx

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin(2ωx-

π

6

)…（3分）
由函數(shù)y=f（x）對稱中心到最近的對稱軸的距離為

π

4

，知

T

4

=

π

4

，
即T=π，

2π

2ω

=π，ω=1，…（5分）
所以f（x）=2sin（2x-

π

6

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）因為0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

所以-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
所以-1≤f（x）≤2
所以函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]．…（12分）

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．