Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90，AB=4，CD=1，點M在線段PB上，PB與平面ABC成30°角．
（1）找出一點M的具體位置，使CM∥平面PAD（要說明理由）．
（2）求證：平面PAB⊥平面PAD．
（3）若點M到平面PAD的距離是，問點M位于線段PB上哪一位置？

Answer 1

【答案】分析：（1）在底面四邊形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知，由此能推導(dǎo)出四邊形CDFM是平行四邊形．從而能夠找到點M在線段PB上使PA=4PM處．
（2）．由PC⊥面ABCD，知∴∠PBC是直線PB與平面ABCD所成的角，所以，由此能夠證明平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足為G，由平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB，知G∈PA=平面PAB∩平面PAD，再由△PMG∽△PBE，能得到此時點M在PB的中點上．
解答：（1）解：在底面四邊形ABCD中，
∵∠B=∠C=90°，
∴，
在PA上取點F，使PA=4PF，
連接FM，MC，F(xiàn)D，
在△PAB中，
∵．
∴MF，
∴四邊形CDFM是平行四邊形，
所以此時的CM∥平面PAD，
即點M在線段PB上使PA=4PM處．
（2）．證明：，
∴∠PBC是直線PB與平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°，
∵PC=2，
∴，
分別以CD，CB，CP為x，y，z軸，C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），B（0，2，0），A（4，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），
設(shè)E為PA的中點，則E（2，，1），
，，
，
∴，
（-2）=0，
∴EB⊥AP，EB⊥PD，
∴EB⊥平面PAD，
∵EB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足為G
∵平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB
∴G∈PA=平面PAB∩平面PAD
由（2）可知：，
又由BE⊥PA，MG⊥PA．
知△PMG∽△PBE，∴，
∴此時點M在PB的中點上．
點評：本題考查空間角和空間距離的計算，解題時要認真審題，仔細解答．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．