Question

如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB，PC的中點；若P-CD-A為45°的二面角，求證：平面MND⊥平面PDC；

Answer 1

解：僅僅觀察平面MND和平面PDC，很難發(fā)現(xiàn)垂直的線索；
從二面角P-CD-A入手，易見CD⊥AD，CD⊥AP，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，即∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，
∴∠PDA=45°，那么在Rt△PAD中有AP=AD，
取PD中點E，則AE⊥PD，又由CD⊥面PAD得CD⊥AE，故AE⊥面PCD；
而EN平行且等于DC，即EN平行且等于AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，即MN∥AE；于是有MN⊥面PCD，
又∵MN在面MND內(nèi)，
∴平面MND⊥平面PDC．
分析：先由PA⊥矩形ABCD所在的平面?CD⊥面PAD?CD⊥PD?∠PDA是二面角P-CD-A的平面角?AE⊥面PCD．又由EN平行且等于AM?MN∥AE?MN⊥面PCD即可證得結(jié)論成立．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直