Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+1．（a，b∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=-1處有極值1，求b的值；
（Ⅱ）若a=

3

2

時(shí)，f（x）在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=3x²+2ax+b，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出b的值．
（Ⅱ） a=

3

2

時(shí)，f'（x）=3x²+3x+b．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出b的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b
∵f（x）在x=-1處有極值1，
∴3-2a+b=0，-1+a-b+1=1
得a=2，b=1
（Ⅱ） a=

3

2

時(shí)，f(x)=x3+

3

2

x2+bx+1．
f'（x）=3x²+3x+b．
∴x∈[0，2]時(shí)3x²+3x+b≥0
則b≥-3x²-3x，0≤x≤2，
∵0≤x≤2時(shí)，-3x²-3x≤0．
∴b≥0，b的最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．