Question

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)＝e^x－1－tx，∃x₀∈R，使f(x₀)≤0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

（Ⅱ）證明：＜ln＜，其中0＜a＜b；

（Ⅲ）設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，證明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋…＋]≤1＋[lnn]（n∈N^*）．

Answer 1

解：（Ⅰ）若t＜0，令x＝，則f()＝e^－1－1＜0；

若t＝0，f (x)＝e^x－1＞0，不合題意；

若t＞0，只需f(x)_min≤0．

求導(dǎo)數(shù)，得f ′(x)＝e^x－1－t．

令f ′(x)＝0，解得x＝lnt＋1．

當(dāng)x＜lnt＋1時(shí)，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，lnt＋1)上是減函數(shù)；

當(dāng)x＞lnt＋1時(shí)，f ′(x)＞0，∴f(x)在(lnt＋1，＋∞)上是增函數(shù)．

故f(x)在x＝lnt＋1處取得最小值f(lnt＋1)＝t－t(lnt＋1)＝－tlnt．

∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．

綜上可知，實(shí)數(shù)t的取值范圍為(－∞，0)∪[1，+∞)．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)≥f(lnt＋1)，即e^x－1－tx≥－tlnt．

取t＝1，e^x－1－x≥0，即x≤e^x－1．

當(dāng)x＞0時(shí)，lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx＜x－1．

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即ln＜．

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即－ln＜，亦即ln＞．

綜上，得＜ln＜．…

（Ⅲ）由（Ⅱ），得＜ln＜．

令a＝k，b＝k＋1（k∈N^*），得＜ln＜．

對(duì)于ln＜，分別取k＝1，2，…，n，

將上述n個(gè)不等式依次相加，得

ln＋ln＋…＋ln＜1＋＋…＋，

∴l(xiāng)n(1＋n)＜1＋＋…＋．      ①

對(duì)于＜ln，分別取k＝1，2，…，n－1，

將上述n－1個(gè)不等式依次相加，得

＋＋…＋＜ln＋ln＋…＋ln，即＋＋…＋＜lnn（n≥2），

∴1＋＋…＋≤1＋lnn（n∈N^*）．       ②

綜合①②，得ln(1＋n)＜1＋＋…＋≤1＋lnn．

易知，當(dāng)p＜q時(shí)，[p]≤[q]，

∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋…＋]≤[1＋lnn]（n∈N^*）．

又∵[1＋lnn]＝1＋[lnn]，

∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋…＋]≤1＋[lnn]（n∈N^*）．