Question

已知函數(shù)f(x)=loga

2-x

2+x

，(a＞0，a≠1)．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域，并求函數(shù)g（x）=-ax²-（2x+4）a^f（x）+4的值域（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）令u=

2-x

2+x

，變形得到該函數(shù)的單調(diào)性，求出其值域，再由f（x）=h（u）為增函數(shù)求得函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）由函數(shù)的真數(shù)大于0求出函數(shù)f（x）的定義域，即g（x）的定義域，把f（x）的解析式代入g（x）后整理，化為關(guān)于x的二次函數(shù)，對a分類討論，由二次函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答：解：（1）令u=

2-x

2+x

=

4

x+2

-1，函數(shù)u在x∈[-1，1]上單調(diào)遞減，故u∈[

1

3

，3]，
故y=log₃u∈[-1，1]，即當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_max=1（在u=3，即x=-1時(shí)取得），
f（x）_min=-1（在u=

1

3

，即x=1時(shí)取得）；
（2）由

2-x

2+x

＞0?（2-x）（2+x）＞0，解得-2＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2），
g（x））=-ax²-（2x+4）a^f（x）+4=-ax²-（2x+4）aloga

2-x

2+x

+4=-ax²+2x，x∈（-2，2），
因?yàn)閍＞0且a≠1，故g（x）的開口向下，且對稱軸x=

1

a

＞0，
于是：①當(dāng)

1

a

∈(0，2)，即a∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)時(shí)，
g（x）的值域?yàn)?span id="y1frnn3" class="MathJye">(g(-2)，g(

1

a

)]=(-4(a+1)，

1

a

]；
②當(dāng)

1

a

≥2，即a∈(0，

1

2

]時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋╣（-2），g（2））=（-4（a+1），4（1-a））．
綜上，當(dāng)a∈(

1

2

，1)∪(1，+∞)時(shí)，函數(shù)g（x）的值域?yàn)?span id="je8rphh" class="MathJye">(-4(a+1)，

1

a

]；
當(dāng)a∈(0，

1

2

]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?4（a+1），4（1-a））．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的值域，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用對數(shù)的性質(zhì)化簡函數(shù)解析式，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬中檔題．