Question

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y²=2x上兩點(diǎn)A、B在該拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是A′、B′，已知|AB|=|AA′|+|BB′|，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．根據(jù)根據(jù)拋物線線的定義，得|AB|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|，可得AB是拋物線經(jīng)過焦點(diǎn)F的弦．然后根據(jù)A、F、B三點(diǎn)共線，利用斜率公式列式，化簡整理得到A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為-1，橫坐標(biāo)之積等于，最后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可算出的值．
解答：解：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l
∵AA′⊥l，點(diǎn)A在拋物線上
∴根據(jù)拋物線線的定義，得|AA′|=|AF|．
同理可得|BB′|=|BF|，
∵|AB|=|AA′|+|BB′|，
∴|AB|=|AF|+|BF|，可得AB是拋物線經(jīng)過焦點(diǎn)F的弦．
因?yàn)閽佄锞�方程為y²=2x，所以焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（，0），
設(shè)A（，y₁），B（，y₂），
∵A、F、B三點(diǎn)共線
∴k_AF=k_BF，可得=，
化簡整理得：（y₁y₂+1）（y₁-y₂）=0，
顯然y₁-y₂≠0，所以y₁y₂=-1
∴=+y₁y₂=（y₁y₂）²+y₁y₂=-1=
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)為A、B，求向量、的數(shù)量積，著重考查了拋物線的幾何性質(zhì)、直線斜率的公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．