Question

如圖,拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M,N.

 (1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|;

(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圓C的半徑.

Answer 1

解:(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1.

由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)C在拋物線E上,

得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),

所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d=2,

又|CN|=|CO|=,

所以|MN|=2=2=2.

(2)設(shè)C（,y0）,

則圓C的方程為（x-）2+(y-y0)2=+,

即x2-x+y2-2y0y=0.

由x=-1,

得y2-2y0y+1+=0,

設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),則

由|AF|2=|AM|·|AN|,

得|y1y2|=4,

所以+1=4,

解得y0=±,此時Δ>0.

所以圓心C的坐標(biāo)為（,）或（,-）,

從而|CO|2=,

|CO|=,

即圓C的半徑為.