已知橢圓上任一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點(diǎn)M在PQ上,且,點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)D(0,-2)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)且平行于x軸的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足(O為原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由.
【答案】分析:(1)設(shè)M(x,y)是所求曲線上的任意一點(diǎn),然后得出的坐標(biāo)代入方程,化簡(jiǎn)即可求出軌跡C的方程.
(2)設(shè)出直線l的方程,以及與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo),將直線方程代入已知C的方程,聯(lián)立并化簡(jiǎn),根據(jù)根的判別式計(jì)算
解答:解:(1)設(shè)M(x,y)是曲線C上任一點(diǎn),因?yàn)镻M⊥x軸,,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,3y) (2分)
點(diǎn)P在橢圓上,所以,因此曲線C的方程是…(5分)
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足條件
所以設(shè)直線l的方程為y=kx-2與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2),N點(diǎn)所在直線方程為,…(6分)
,…(8分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172846281463705/SYS201311031728462814637021_DA/7.png">,所以四邊形OANB為平行四邊形,…(10分)
假設(shè)存在矩形OANB,則,即x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2-2k(x1+x2)+4=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0,
所以,…(12分)
設(shè)N(x,y),由,得,
即N點(diǎn)在直線,所以存在四邊形OANB為矩形,直線l的方程為y=±2x-2…(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用以及軌跡方程的應(yīng)用,通過對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查學(xué)生的能力,屬于中檔題.
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(本小題滿分12分)

已知橢圓上任一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點(diǎn)M在PQ上,且,點(diǎn)M的軌跡為C.

(Ⅰ)求曲線C的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)D(0,-2)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)且平行于軸的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足(O為原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由.

 

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已知橢圓數(shù)學(xué)公式上任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為數(shù)學(xué)公式,P與橢圓長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為數(shù)學(xué)公式.設(shè)直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F,交橢圓C于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若數(shù)學(xué)公式(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|y1-y2|的值;
(Ⅱ)當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí),在x軸上是否總存在點(diǎn)Q,使得直線QA、QB的傾斜  角互為補(bǔ)角?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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已知橢圓上任一點(diǎn)P,由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點(diǎn)M在PQ上,且,點(diǎn)M的軌跡為C.

   (1)求曲線C的方程;

   (2)過點(diǎn)D(0,-2)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)且以 為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足(O為原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由.

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(2)過點(diǎn)D(0,-2)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),設(shè)N是過點(diǎn)且平行于x軸的直線上一動(dòng)點(diǎn),滿足(O為原點(diǎn)),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由.

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