Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

1 x∈[0，1] x-3 x∉[0，1]

，則f[f（x）]=1成立的整數(shù)x的取值的集合為

{0，1，3，4，7}

．

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）是定義在R上的分段函數(shù)，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法對自變量x的進(jìn)行分類，再解相應(yīng)的方程即可得到成立的整數(shù)x的集合．

解答：解：∵定義在R上的函數(shù)f(x)=

1 x∈[0，1] x-3 x∉[0，1]

，
①當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=1，
∴f[f（x）]=f[1]=1，
∴當(dāng)x=0，1時，f[f（x）]=1，
②當(dāng)3≤x≤4時，f（x）=x-3∈[0，1]，
∴f[f（x）]=f[x-3]=1，
∴當(dāng)x=3，4時，f[f（x）]=1，
③當(dāng)x∉[0，1]∪[3，4]時，f（x）=x-3，
∴f[f（x）]=f[x-3]=x-6=1，∴x=7，
∴當(dāng)x=7時，f[f（x）]=1，
∴f[f（x）]=1成立的整數(shù)x的取值的集合為{0，1，3，4，7}
故答案為：{0，1，3，4，7}．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素、集合的表示法、分段函數(shù)等基本知識，考查分類討論等數(shù)學(xué)思想方法