已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+c(a,c∈R)滿足條件:①f(1)=0;②對一切x∈R,都有f(x)≥0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)-4mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值-20?若存在,請求出實數(shù)m的值;若不存在,請說明理由.
考點:二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:(1)分a=0和a函數(shù)是二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質解決對一切x∈R,都有f(x)≥0;根據f(1)=0得,
(2)g(x)=f(x)-4mx=x2-(4m+2)x+1,該函數(shù)圖象開口向上,且對稱軸為x=2m+1,假設存在實數(shù)m使函數(shù)g(x)=f(x)-4mx=x2-(4m+2)x+1 在區(qū)間[m,m+2]上有最小值-20.根據函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論,從而可求m的值.
解答: 解:(1)當a=0時,f(x)=-2x+c.
由f(1)=0得-2+c=0,即c=2,
∴f(x)=-2x+2,
顯然x>1時,f(x)<0,這與條件②相矛盾,
∴a≠0,因而函數(shù)f(x)=ax2-2x+c是二次函數(shù),
由于對一切x∈R,都有f(x)≥0,由二次函數(shù)的性質可得
a>0
4-4ac≤0
,即
a>0
ac≥1
,由此可知 a>0,c>0,
∴ac≤(
a+c
2
2,
由f(1)=0,得a+c=2,代入上式得ac≤1.
但前面已推得ac≥1,
∴ac=1,
綜上解得a=c=1,
∴f(x)的解析式為f(x)=x2-2x+1,
(2)由題意g(x)=f(x)-4mx=x2-2x+1-4mx=x2-(4m+2)x+1,
該函數(shù)圖象開口向上,且對稱軸為x=2m+1,
假設存在實數(shù)m使函數(shù)g(x)=f(x)-4mx=x2-(4m+2)x+1在區(qū)間[m,m+2]上有最小值-5.
①當m<-1時,2m+1<m,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上是遞增的,
∴g(m)=-20,
即m2-(4m+2)m+1=-20,化簡得3m2+2m-21=0,
解得m=-3或m=
7
3
(與m<-1矛盾,舍去),
②當-1≤m<1時,m≤2m+1<m+1,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,2m+1]上是遞減的,而在區(qū)間[2m+1,m+2]上遞增,
∴g(2m+1)=-20,
即(2m+1)2-(4m+2)(2m+1)+1=-20,
解得m=
-1-
21
2
或m=
-1+
21
2
,與-1≤m<1矛盾,都舍去,
③當m≥1時,2m+1≥m+2,函數(shù)g(x)在區(qū)間[m,m+2]上是遞減的,
∴g(m+2)=-20,
即(m+2)2-(4m+2)(m+2)+1=-20,
解得m=-1-2
2
(與m≥1矛盾,舍去)或m=-1+2
2
,
綜上可得,當m=-3或m=-1+2
2
時,函數(shù)g(x)=f(x)-4mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值-20.
點評:本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式等基本知識,考查綜合運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力,本題考查的重點是函數(shù)的解析式的求解與函數(shù)最值的研究,解題的關鍵是合理運用函數(shù)的性質,正確分類,同時考查學生分析解決問題的能力,有一定的綜合性.
練習冊系列答案
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n
|x|+m
(m<0,n>0)圖象與中國漢字“囧”字相似,因此我們把函數(shù)f(x)稱之為“囧函數(shù)”.當m=-1,n=1時,請同學們研究如下命題:
①函數(shù)f(x)的定義域是:(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞);
②函數(shù)f(x)的對稱中心是(-1,0)和(1,0);
③函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調;
④函數(shù)f(x)的值域是:(-∞,-1]∪(0,+∞);
⑤方程f(x)-x=b有三個不同的實數(shù)根,則b<-1或b>3;
其中正確命題是
 
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下列那些函數(shù)滿足條件f(
x1+x2
2
)
f(x1)+f(x2)
2

①y=ex②y=lnx③y=
1
x
④y=-x2
其中正確的是
 
.(寫出所有正確判斷的序號)
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已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PB=PD,E為PA的中點.
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(2)若PB=BC=2,二面角P-BD-C的大小為60°,求四棱錐P-ABCD的體積.

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正方形ABCD與ABEF的邊長都為a,若二面角E-AB-C的大小為30°,則EF與平面ABCD的距離為
 

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已知數(shù)列{an}的通項為an=n2-2λn,則“λ<0”是“?n∈N*,an+1>an”的(  )
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹