Question

如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求：
（1）AD與BC所成的角；
（2）AD和平面BCD所成的角；
（3）二面角A-BD-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，通過 

AD

與 

BC

的夾角去求AD與BC所成的角．
（2）通過求 

AD

與平面BCD的夾角去求AD和平面BCD所成的角．
（3）求出平面CBD的一個法向量為

n1

以及平面ABD的一個法向量為

n2

，求出兩法向量的余弦值即可得到平面CDF與平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）設(shè)AB=1，作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：
O（0，0，0）D（

3

2

，0，0）B（0，

1

2

，0）C（0，

3

2

，0）A（0，0，

3

2

）

AD

=（

3

2

，0，-

3

2

），

AD

•

BC

=（

3

2

，0，-

3

2

）•（0，1，0）=0
所以AD與BC所成角等于90°．
（2）由（1）可知

n1

=（0，0，1）為平面BCD的一個法向量
|cos＜

AD

，

n1

＞|=|

3 2

3 2 ×1

|=|-

2

2

|=

2

2

∴直線AD與平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（3）設(shè)平面ABD的法向量為

n2

=（x，y，1）則
（x，y，1）•

AB

=（x，y，1）•（0，

1

2

，-

3

2

）=0
（x，y，1）•

AD

=（x，y，1）•（

3

2

，0，-

3

2

）=0
解得  x=1，y=

3

，
則

n2

=（1，

3

，1）
顯然（0，0，1）為平面BCD的法向量．
設(shè)二面角A-BD-C大小為θ，則
|cosθ|=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

1 5

=

5

5

又  二面角A-BD-C為鈍二面角    
因此，二面角的余弦為-

5

5

．
（第一問中含建立坐標(biāo)系2分）

點評：本題考查空間角的計算，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，計算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證變成了代數(shù)運算，使人們解決問題更加方便．