對任意的正整數(shù)n,猜測:2n-1與(n+1)2的大小.寫出你的結(jié)論.并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.
分析:對n=1,2,3,4,…取值驗證或借助于函數(shù)y=2x與y=x2的圖象,找出最小的正整數(shù)m等于6,再按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進行證明.
解答:解:當(dāng)n=1時2n-1<(n+1)2
當(dāng)n=2時,22-1=2<(2+1)2
當(dāng)n=3時,23-1=4<(3+1)2
當(dāng)n=4時24-1<(4+1)2
當(dāng)n=5時25-1<(5+1)2
當(dāng)n=6時  26-1<(6+1)2
當(dāng)n=7時  27-1=(7+1)2
當(dāng)n=8時  28-1>8+1)2

猜想當(dāng)n≥8,2n-1>(n+1)2 恒成立.
數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=8時,28-1=128,(8+1)2=81,128>81,2n-1>(n+1)2 成立
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥8)時不等式成立,即有2k-1>(k+1)2
則當(dāng)n=k+1時,2(k+1)-1=2k=2•2k-1>2•(k+1)2=k2+[(k+2)2-2]>(k+2)2  (∵k2-2>0)
=[(k+1)+1]2,即是說 當(dāng)n=k+1時不等式也成立.
由(1)(2)可知當(dāng)n≥8,時2n-1>(n+1)2 恒成立.
點評:本題考查猜想、證明的推理方法,考查數(shù)學(xué)歸納法證明命題.注意證明的步驟的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有an=5Sn+1成立,記bn=
4+an
1-an
(n∈N*)

(I)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(II)記cn=
5
bn-4
,求數(shù)列{cn}的前n項和為Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}是首項為4,公差為1的等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且Sn=n2+2n.
(1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項公式an和bn;
(2)f(n)=
n+3,n為正奇數(shù)
2n+1,n為正偶數(shù)
問是否存在k∈N*使f(k+27)=4f(k)成立.若存在,求出k的值;若不存在,說明理由;
(3)對任意的正整數(shù)n,不等式
a
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
n-1+an+1
≤0
恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
i
=(1,0),
jn
=(cos2
2
,sin
2
),
Pn
=(an,sin
2
)(n∈N+),數(shù)列{an}
滿足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

(I)求證:數(shù)列{a2k-1}是等差數(shù);數(shù)列{a2k}是等比數(shù)列;(其中k∈N*);
(II)記an=f(n),對任意的正整數(shù)n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范圍.

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對任意的正整數(shù)n,猜測:2n-1與(n+1)2的大小.寫出你的結(jié)論.并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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