Question

已知a、b、c∈R，函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx-c，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f'（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求a，b的關(guān)系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）問的條件下，求目標(biāo)函數(shù)z=2a-b的最大值；
（Ⅲ）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β處取得極值，且-1＜α＜0＜β＜1，試求方程f（x）=0的三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，由已知得3x²-2ax+b=0的判別式△=0，即得a，b的關(guān)系式；
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，為使z最大，只需-z最小．在坐標(biāo)系aOb中，拋物線b=

1

3

a2和直線b=2a-z相切時滿足條件即可求出z的最大值；
（III）由已知f′（x）=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實(shí)根α，β，因?yàn)?1＜α＜0＜β＜1，根據(jù)實(shí)根分布，列出關(guān)于c的不等關(guān)系，解之得此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，由已知得3x²-2ax+b=0的判別式△=0
得b=

1

3

a2．…（4分）．
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，為使z最大，只需-z最�。�
在坐標(biāo)系aOb中，拋物線b=

1

3

a2和直線b=2a-z相切時滿足條件．
令切點(diǎn)M（m，n）.b′=

2

3

a，由

2

3

a=2得a=3，則M（3，3）．
所以z的最大值等于2×3-3=3．…（8分）
（Ⅲ）令f（x）=x³-ax²+bx-c，要f（x）=0有三個不等的實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)f（x）有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0．
由已知，得f'（x）=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實(shí)根α，β．
∵-1＜α＜0＜β＜1．
∴

3+2a+b＞0…(1) b＜0…(2) 3-2a+b＞0…(3)

，由(1)、(3)得b＞-3．
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1代入（1）（3）得a=0．
∴f′(x)=3x2-1，則α=-

3

3

，β=

3

3

，且f(x)在x=-

3

3

處取得極大值，
在x=

3

3

處取得極小值．故f（x）=0要有三個兩兩不等的實(shí)數(shù)根，
則必須

f(- 3 3 )＞0 f( 3 3 )＜0.

得-

2 3

9

＜c＜

2 3

9

．…（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查簡單線性規(guī)劃、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．