Question

設(shè)集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N^*}，B={（x，y）|y=ax²-ax+a，x∈N^*}，問(wèn)是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠∅？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

假設(shè)A∩B≠∅，則方程組

y=2x-1 y=ax2-ax+a

有正整數(shù)解，
消去y，得ax²-（a+2）x+a+1=0．（*）
由△≥0，得（a+2）²-4a（a+1）≥0，解得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

．
因a為非零整數(shù)，∴a=±1，
當(dāng)a=-1時(shí)，代入（*），解得x=0或x=-1，而x∈N^*．故a≠-1．
當(dāng)a=1時(shí)，代入（*），解得x=1或x=2，符合題意．
故存在a=1，使得A∩B≠∅，此時(shí)A∩B={（1，1），（2，3）}．