設(shè)函數(shù)f（x）=xekx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．
【答案】分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間即可；
（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)-≤-1時，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)-≥1時，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，由此即可求k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）ekx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=-（k≠0），
若k＞0，則當(dāng)x∈（-∞，-）時，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-，+∞，）時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
若k＜0，則當(dāng)x∈（-∞，-）時，
f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-，+∞，）時，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)-≤-1，
即k≤1時，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)-≥1，
即k≥-1時，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
綜上可知，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增時，
k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．
點評：本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力以及分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f （x）=ex，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）當(dāng)b=0時，若對?x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）的圖象為函數(shù)f （x）和g（x）圖象的公共切線，切點分別為（x1，f （x1））和（x2，g（x2）），其中x1＞0．
①求證：x1＞1＞x2；
②若當(dāng)x≥x1時，關(guān)于x的不等式ax2-x+xe-x+1≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x1-x
e-ax
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式
（2）設(shè)a＞0，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德陽三模）已知函數(shù)f（x）=[x2-（a+2）x-2a2+a+2]ex．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，x=2是f（x）的極值點，函數(shù)h（x）=xe-xf（x）．若過點A（0，m）（m≠0）可作曲線y=h（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)a＞1，函數(shù)g（x）=（a2+4）ex，若存在x1∈[0，1]、x2∈[0，1]，使|f（x1）-f（x2）|＜12，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮北一模）設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x1-x
e-ax
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式，
（2）設(shè)a＞O，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年四川省德陽市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=[x2-（a+2）x-2a2+a+2]ex．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，x=2是f（x）的極值點，函數(shù)h（x）=xe-xf（x）．若過點A（0，m）（m≠0）可作曲線y=h（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)a＞1，函數(shù)g（x）=（a2+4）ex，若存在x1∈[0，1]、x2∈[0，1]，使|f（x1）-f（x2）|＜12，求實數(shù)a的取值范圍．

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