Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求證：f（x）+f（1﹣x）= ；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），求an；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前項n和為Sn ， 若Sn≥λan（n∈N*）恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ，

∴

（2）解：由（1）知 ，

故 ，

，

又 ，

兩式相加得 ，

∴

（3）解：由（2）知 ，∴ ，

∴數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列，

∴ ，

，

又∵ 在n∈N*上為遞增的函數(shù)，∴當n=1時 ，

則 恒成立，實數(shù)λ的取值范圍為（﹣∞，1]

【解析】（ 1）由于 ，計算f（x）+f（1﹣x）即可證明．（2）由（1）知 ，利用“倒序相加”即可得出．（3）由（2）知 ，可得 ，利用等差數(shù)列的求和公式可得Sn ， 代入Sn≥λan（n∈N*）化簡，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)．