Question

如圖，直角坐標系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經(jīng)過A、D兩點．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若一過點P（m，0）（m為非零常數(shù)）的直線l與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且

MP

=λ

PN

，問在x軸上是否存在定點G，使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有這樣定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線E的方程，利用BD=3DC，△ABC的周長為12，建立方程，即可求得雙曲線的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)在x軸上存在定點G（t，0），再利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出t的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)，則B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴

|AB|2-|AC|2=16a2 |AB|+|AC|=12-4a |AB|-|AC|=2a.

，解之得a=1，∴c=2，  b=

3

．
∴雙曲線E的方程為x2-

y2

3

=1．
（2）設(shè)在x軸上存在定點G（t，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．
設(shè)直線l的方程為x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MP

=λ

PN

，得y₁+λy₂=0．
即λ=-

y1

y2

①
∵

BC

=（4，0），

GM

-λ

GN

=（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂）
∴x₁-t-λx₂+λt=0
∴x₁-t=λ（x₂-t）
即ky₁+m-t=λ（ky₂+m-t）②
①代入②得2ky₁y₂+（m-t）（y₁+y₂）=0③
把x=m+ky代入雙曲線，消去x可得（3k²-1）y²+6kmy+3（m²-1）=0
∴y₁+y₂=

-6km

3k2-1

，y₁y₂=

3(m2-1)

3k2-1

代入③可得

6k(m2-1)

3k2-1

-

-6km(m-t)

3k2-1

=0
化簡可得kmt=k
當(dāng)t=

1

m

時，上式恒成立
因此，在x軸上存在定點G（

1

m

，0），使

BC

⊥(

GM

-λ

GN

)．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量的運算、雙曲線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．