Question

如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，，M是AD的中點． (1) 求證：AD∥平面A1BC (2) 求證：平面A1MC⊥平面A1BD1 (3) 求點A到平面A1cMC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一： 由已知：AD∥BC， 而BC在平面A1BC內，AD在平面A1BC外 所以，AD∥平面A1BC…………………………………4分 　　解法二： 以D為原點，以射線DA、DC、DD1分別為x、y、z的正半軸建立空間直坐標系，可知各點坐標分別為D(0，0，0)， …………………………3分 由此可知， ，所以 故∥， 而BC在平面A1BC內，AD在平面A1BC外 所以AD∥平面A1BC…………………………………………………………6分
(2)	解法一： 連結BD 由， 得△DAB~△CDM，∴∠ADB＝∠DCM， 又∠DCM＋∠DMC＝90°∴∠ADB＋∠DMC＝90° 故BD⊥CM， 又BD是BD1在平ABCD的射影， 由三垂線定理可知：BD1⊥CM……………………………………………6分 同理可得BD1⊥A1M， ∴BD1⊥平面A1MC，又平面A1BD1 ∴平面A1MC⊥平面A1BD1……………………………………………8分 　　解法二：， 故BD⊥CM． 同理可得BD1⊥A1M， ∴BD1⊥平面A1MC，又平面A1BD1 ∴平面A1MC⊥平面A1BD1………………………………………………9分
(3)	解法一： 取BC的中點P，設O為A1C與BD1的交點，OC的中點Q，連結AP、PQ， 由AP∥MC知點A到平面A1MC的距離等于點P到平面A1MC的距離， 由P、Q分別是BC、OC的中點知PQ∥BO，， 又BO⊥平面A1MC，∴PQ⊥平面A1MC，而BO＝a，， 即點A到平面A1MC的距離為．………………………………………12分 　　解法二：，由(2)知是平面A1MC的法向量， ∴點A到平面A1MC的距離為………………………12分