Question

利用求導可揭示一些很有趣的現(xiàn)象.如①圓面積S(R)=πR²的導數(shù)S′(R)=l(R)=2πR即為圓周長公式；②球體積V（R）=πR³的導數(shù)V′(R)=S(R)=4πR²即為球面面積公式.請不妨試試下列.

（1）對sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ兩邊同時對α求導.

（2）對（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³兩邊同時對a求導.

Answer 1

解：（1）∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosα·sinβ,

∴［sin(α+β)′］|_α=(sinαcosβ+cosαsinβ)′|_α

=cosαcosβ-sinαsinβ.

即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

（2）∵(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³,

∴［(a+b)³］′|_a=(a³+3a²b+3ab²+b³)′|_a

即3(a+b)²=3a²+6ab+3b²,

即(a+b)²=a²+2ab+b².