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設f(
x
)=
1
x
+2
x
．
（1）求f（x）的表達式．
（2）設函數g（x）=aχ-
1
x2
+f（x），則是否存在實數a，使得g（x）為奇函數？說明理由；
（3）解不等式f（x）-χ＞2．
分析：（1）把已知解析式中的
x
設為t，解出x后代入即可確定出f（x）的解析式；
（2）把求出的f（x）的解析式代入到g（x）中確定出g（x）的解析式，求出g（x）的定義域，求出g（1）的值，由于g（-1）不存在，進而不存在實數a使得g（x）為奇函數；
（3）把f（x）的解析式代入到不等式中，因式分解后，根據x大于0和圖形即可得到原不等式的解集．
解答：解：（1）由f(
x
)=
1
x
+2
x
，設
x
=t，解得x=t2（t＞0），
把x=t2代入得：f（t）=
1
t2
+2t，即f（x）=
1
x2
+2x（x＞0）；
（2）∵g（x）=ax2-
1
x2
+f（x）=ax2+2x，定義域為（0，+∞），
∵g（1）=2+a，而g（-1）不存在，
∴g（1）≠-g（-1），即不存在實數a使得g（x）為奇函數；
（3）∵f（x）-x＞2，即
1
x2
+x-2＞0，
去分母得：x3-2x2+1＞0，即（x3-x2）-（x2-1）＞0，
因式分解得：（x-1）（x2-x-1）＞0，
即（x-1）（x-
1+
5
2
）（x-
1-
5
2
）＞0，
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∴結合x＞0和圖形得：0＜x＜1或x＞
1+
5
2
．
因此原不等式的解集為{x|0＜x＜1或x＞
5
-1
2
}．
點評：此題考查學生掌握函數解析式的求法及奇函數的性質，考查了數形結合的數學思想的運用，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
1
x+2
，點A0表示原點，點An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量
an
與向量
i
=(1，0)的夾角，
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
，設Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，則
lim
n→∞
Sn=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

一組數據4，7，10，s，t的平均數是7，n是這組數據的中位數，設f(x)=(
1x
-x2)n．
（1）求f（x）的展開式中x-1的項的系數；
（2）求f（x）的展開式中系數最大的項和系數最小的項．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f(x)=
1
x+2
+1g
1-x
1+x

（Ⅰ）證明f（x）在（-1，1）上是減函數；
（Ⅱ）若f（x）的反函數為f-1（x），試證明方程f-1（x）=0只有唯一解；
（Ⅲ）解關于x的不等式：f[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
1
x+2
+lg
1-x
1+x

（1）求f（x）的定義域．
（2）判斷函數f（x）的單調性并證明．
（3）解關于x的不等式f[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設f(x)=
1
x+2
+1g
1-x
1+x

（Ⅰ）證明f（x）在（-1，1）上是減函數；
（Ⅱ）若f（x）的反函數為f-1（x），試證明方程f-1（x）=0只有唯一解；
（Ⅲ）解關于x的不等式：f[x(x-
1
2
)]＜
1
2
．

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