Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，g（x）=-3^x-2，
（1）若f（x）在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若f（x）與非負(fù)x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，判斷f（x）與g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，若f（x）在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增，則有-≤3，解得 a≤，
故a的取值范圍為（-∞，]．
（2）當(dāng)f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 與非負(fù)x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，
則△＜0，或，解得或，故當(dāng)f（x）與非負(fù)x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)有 ，
故a的取值范圍為[-，]．
（3）當(dāng)時(shí)，f（x）=x²+x-=，故f（x）的值域?yàn)閇-2，+∞）．
而函數(shù)g（x）=-3^x-2 的值域?yàn)?（-∞，-2），故函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象無交點(diǎn)．
分析：（1）由題意可得有-≤3，由此解得 a的取值范圍．
（2）當(dāng)f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 與非負(fù)x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，求得a的取值范圍，再取補(bǔ)集，即得所求的a的取值范圍．
（3）當(dāng)時(shí)，求得f（x）的值域?yàn)閇-2，+∞），而函數(shù)g（x）=-3^x-2 的值域?yàn)?（-∞，-2），故函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象無交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．