函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象過點M（1，4），在點M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（m-1，m+1）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．
分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象過點M（1，4），在點M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直，建立方程組，這樣可以求出a，b的值；
（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)，導函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（m-1，m+1）上單調(diào)遞增，可建立不等關系，這樣就可以求實數(shù)m的取值范圍
解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2，∴f'（x）=3ax2+2bx
由已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象過點M（1，4），在點M處的切線恰與直線x+9y+5=0垂直
可得
f(1)=4
f′(1)=9
即
a+b=4
3a+2b=9

解得a=1，b=3…（6分）
（2）由（1）知f（x）=x3+3x2
∴f'（x）=3x2+6x=3x（x+2）
由f'（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，∴f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）上單調(diào)遞增…（9分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（m-1，m+1）上單調(diào)遞增，
∴m+1≤-2或m-1≥0，即m≤-3或m≥1，
∴實數(shù)m的取值范圍是m≤-3或m≥1，…（13分）
點評：導數(shù)的幾何意義就是曲線在該點處的切線的斜率，依此可以解決切線問題，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，這個區(qū)間是函數(shù)增區(qū)間的子區(qū)間，要牢牢記住．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列命題：
①若f（x）存在導函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
π12
)=1；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、已知函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+b（x∈[-1，2]）的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
 
；
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結(jié)論
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax3-2x2+a2x在x=1處有極小值，則實數(shù)a等于
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下表為函數(shù)f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應函數(shù)值，為了便于研究，相關函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.01．
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質(zhì)：
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點，并說明理由．

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