Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）≥0，即-x²+（a-2）x+a≥0對x∈（-1，1）恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-

2

，

2

）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）≥0，
即-x²+（a-2）x+a≥0對x∈（-1，1）恒成立，
即a≥x+1-

1

x+1

對x∈（-1，1）恒成立，
令y=x+1-

1

x+1

，則y′=1+

1

(x+1)2

＞0
∴y=x+1-

1

x+1

在（-1，1）上單調(diào)遞增，∴y＜1+1-

1

1+1

=

3

2

∴a≥

3

2

當(dāng)a=

3

2

時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0
∴a的取值范圍是[

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．