已知函數(shù)f(x)=x3-(1+b)x2+bx,b∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y-3=0平行,求b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求f(x)在區(qū)間[0,3]上的最值.
【答案】
分析:(Ⅰ)求導數(shù)f′(x),由函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y-3=0平行,得f′(1)=-1,解出即得b值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)寫出f(x),f′(x),解方程f′(x)=0,在區(qū)間[0,3]上,列出x,f′(x),f(x)的變化情況表,由表可求得函數(shù)的最值;
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=3x
2-2(1+b)x+b,
∵函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y-3=0平行,
∴f′(1)=3-2(1+b)+b=-1,解得b=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x
3-3x
2+2x,f′(x)=3x
2-6x+2,
令f′(x)=3x
2-6x+2=0,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395733790/SYS201310251246003957337017_DA/0.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395733790/SYS201310251246003957337017_DA/1.png)
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在區(qū)間[0,3]上,x,f′(x),f(x)的變化情況如下:
x | | (0,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,3) | 3 |
f′(x) | | + | | - | | + | |
f(x) | | 遞增 | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395733790/SYS201310251246003957337017_DA/2.png) | 遞減 | -![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395733790/SYS201310251246003957337017_DA/3.png) | 遞增 | 6 |
所以當x=3時,f(x)
max=6;當x=1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395733790/SYS201310251246003957337017_DA/4.png)
時,f(x)
min=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395733790/SYS201310251246003957337017_DA/5.png)
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點評:本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,考查學生的運算能力,解決本題的關鍵是準確求導,正確理解導數(shù)的幾何意義.