Question

已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，AB上的中線CD=m，求證：a²+b²=c²+2m²．

Answer 1

證明：法一：如圖所示（向量法），在△ABC中，
∵ ①， ②，
且=a，=b，==c，=m；
①②兩式平方相加，可得：a²+b²=c²+2m²+2（•+•）；
∵•+•=||||•cos∠BDC+||||cos∠CDA=c•m•cos∠BDC+c•m•cos（π-∠BDC）=0；
∴a²+b²=c²+2m²．即證．
法二：（余弦定理法）在△ABC中，由余弦定理，得，，兩式相加，得
-cm•cos（π-∠BDC）=c²+2m²；即證．
分析：法一：在△ABC中，要證：a²+b²=c²+2m²成立，可以用（向量法），即，，兩式平方相加可得結(jié)論；
法二：根據(jù)余弦定理，，，兩式相加即得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題在三角形中考查了平面向量的線性表示和基本的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題；本題也可以應(yīng)用余弦定理，得出證明，解題思路比較多．