Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，點(diǎn)M在側(cè)棱BB₁上．
（1）若BM=

2

，求異面直線AM與BC所成的角；
（2）若AB₁⊥BC₁，求棱柱的高BB₁．

Answer 1

分析：（1）利用異面直線的定義，通過做平行線將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角問題，通過解三角形求出角的大�。�
（2）利用平面垂直的性質(zhì)得到AF⊥平面BB₁C₁C，利用三垂線定理及逆定理得到CB₁⊥BC₁，得到側(cè)面BB₁C₁C為菱形．

解答：解：（1）過A在平面ABC內(nèi)作AE∥CB且AE=CB連接EM∠EAM為異面直線AM和BC所成的角或其補(bǔ)角，----（3分）
在△AEM中，AM=EM

12+( 2 )2

=

3

，AE=1，
co∠EAM

3

6

∠EAMaiccos

3

6

--------------（6分）
（2）取BC中點(diǎn)為F，則AF⊥BC，又平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，AB₁在平面BB₁C₁C上的射影為B₁F，
∴由已知AB₁⊥BC₁及三垂線定理的逆定理得FB₁⊥BC₁-------------------------（9分）
設(shè)BB₁=x
在平面B₁BCC₁中，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC 為x軸建立直角坐標(biāo)系，則
B（0，0），F(xiàn)（

1

2

，0），B₁（0，x），C₁（1，x）
∵

FB1

⊥BC1
∴(1，x)•(

1

2

，-x)=0
∴x=

2

2

∴BB1=

2

2

-------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決異面直線所成的角，常通過作平行線轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；有時(shí)也常利用向量來解決．注意異面線所成角的范圍．