Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=k2ⁿ-k（其中k為常數(shù)），且a₂=4．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=k2ⁿ-k，求得a₁=S₁=2k-k=k，結(jié)合a₂=4求得k，則a₁=2，由當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2ⁿ求得an=2n；
（2）把a(bǔ)_n代入na_n，得nan=n•2n，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由S_n=k2ⁿ-k，得a₁=S₁=2k-k=k，
a₂=S₂-S₁=4k-k-k=2k=4，解得k=2．
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2．
則a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2ⁿ，
驗(yàn)證n=1時(shí)上式成立，
∴an=2n；
（2）nan=n•2n，
則Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
兩式作差得：-Tn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．