Question

（2012•泉州模擬）已知函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與x軸相切于點S（s，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與過坐標原點O的直線l相切于點T（t，f（t）），且f（t）≠0，證明：1＜t＜e；（注：e是自然對數(shù)的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記直線ST的傾斜角為α，試證明：

π

4

＜α＜

5π

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與x軸相切于點S（s，0），建立方程，即可求得函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）先確定直線l的方程為：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，利用T在直線l上，可得實數(shù)t必為方程

2

t

+elnt-e=0，構(gòu)造函數(shù)g(t)=

2

t

+elnt-e，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在區(qū)間(0，

2

e

]內(nèi)的唯一一個解，由此可證結(jié)論；
（Ⅲ）先證明1＜tanα=

e

t

＜e，利用y=tanx在(0，

π

2

)單調(diào)遞增，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由f(x)=

1

x

+clnx，得f′(x)=-

1

x2

+

c

x

．…（1分）
∵函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與x軸相切于點S（s，0），
∴f′(s)=-

1

s2

+

c

s

=

cs-1

s2

=0，…①且f（s）=

1

s

+clns=0…．②…（2分）
聯(lián)立①②得c=e，s=

1

e

．…（3分）
∴f(x)=

1

x

+elnx．…（4分）
（Ⅱ）證明：f′(x)=-

1

x2

+

e

x

．
∵函數(shù)f(x)=

1

x

+clnx的圖象與直線l相切于點T（t，f（t）），直線l過坐標原點O，
∴直線l的方程為：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，
又∵T在直線l上，∴實數(shù)t必為方程

2

t

+elnt-e=0…．③的解．…（5分）
令g(t)=

2

t

+elnt-e，則g′(t)=-

2

t2

+

e

t

=

et-2

t2

，
解g′（t）＞0得t＞

2

e

，g′（t）＜0得0＜t＜

2

e

．
∴函數(shù)y=g（t）在(0，

2

e

]遞減，在(

2

e

，+∞)遞增．…（7分）
∵g(

1

e

)=0，且函數(shù)y=g（t）在(0，

2

e

)遞減，
∴t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在區(qū)間(0，

2

e

]內(nèi)的唯一一個解，
又∵f(

1

e

)=0，∴t=

1

e

不合題意，即t＞

2

e

．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，g(e)=

2

e

＞0，函數(shù)y=g（t）在(

2

e

，+∞)遞增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）證明：∵T（t，f（t）），S(

1

e

，0)
∴tanα=kST=

f(t)-0

t-s

=

1 t +elnt

t- 1 e

，
由③得tanα=

1 t +elnt

t- 1 e

=

e

t

，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴0＜α＜

π

2

．
∵1＜t＜e，∴1＜tanα=

e

t

＜e，…（11分）
∵tan

π

4

=1，tan

5π

12

=tan(

π

6

+

π

4

)=

tan π 6 +tan π 4

1-tan π 6 tan π 4

=2+

3

＞e，…（13分）
∴tan

π

4

＜tanα＜tan

5π

12

，
∵y=tanx在(0，

π

2

)單調(diào)遞增，∴

π

4

＜α＜

5π

12

．…（14分）

點評：本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式、直線方程和三角函數(shù)等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想．