Question

若存在常數(shù)L，使得對(duì)任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上滿足L-條件．
（1）求證：正弦函數(shù)f（x）=sinx在開區(qū)間(0，

π

2

)上滿足L-條件；
（2）如果存在實(shí)數(shù)M，使得|f'（x）|≤M在區(qū)間I上恒成立，那么函數(shù)f（x）在I上是否滿足L-條件？若滿足，給出證明；若不滿足，舉出反例．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=sinx在(0，

π

2

)上遞增可得_{式子|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|等價(jià)與}sinx₂-sinx₁≤Lx₂-Lx₁，進(jìn)而可得結(jié)論成立．（2）存在實(shí)數(shù)M，使得|f'（x）|≤M在區(qū)間I上恒成立，那么函數(shù)f（x）在I上滿足L-條件，只要證明對(duì)任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|即可．

解答：（1）證明：要證存在常數(shù)L，使對(duì)任意x₁，x2∈(0，

π

2

)，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|．
不妨設(shè)x₁＜x₂，∵f（x）=sinx在(0，

π

2

)上遞增，∴上式等價(jià)于sinx₂-sinx₁≤Lx₂-Lx₁，
即sinx₁-Lx₁≥sinx₂-Lx₂，
轉(zhuǎn)化為證明存在常數(shù)L，使函數(shù)F（x）=sinx-Lx在(0，

π

2

)上遞減，再轉(zhuǎn)化為證明在(0，

π

2

)上，
F'（x）=cosx-L≤0恒成立，即cosx≤L恒成立，
由于在(0，

π

2

)上，恒有cosx≤1，故取L=1即可，證畢．
（2）如果存在實(shí)數(shù)M，使得|f'（x）|≤M在區(qū)間I上恒成立，那么函數(shù)f（x）在I上滿足L-條件，
即對(duì)任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|（*），這里L(fēng)=M．證明如下：
不妨設(shè)x₁＜x₂，按f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系分類：
2f（x₁）=f（x₂）3時(shí)，（*）4顯然成立；
②當(dāng)f（x₁）＜f（x₂）時(shí)，考慮函數(shù)G（x）=f（x）-Mx，x∈I，
由于-M≤f'（x）≤M，故G'（x）=f'（x）-M≤0，從而G（x）在I上遞減，
又x₁＜x₂，所以G（x₁）≥G（x₂），即f（x₁）-Mx₁≥f（x₂）-Mx₂，
亦即f（x₂）-f（x₁）≤M（x₂-x₁），也就是（*）成立；
③當(dāng)f（x₁）＞f（x₂）時(shí)，類似②，考慮函數(shù)H（x）=f（x）+Mx（x∈I）即可．（9分）
綜上所述，對(duì)任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有（*），所以函數(shù)f（x）在I上滿足L-條件．
另解：利用Lagrange中值定理，對(duì)任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，存在ξ∈I，使

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(ξ)，于是|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|=|f′(ξ)|≤M，即|f（x₁）-f（x₂）|≤M|x₁-x₂|．

點(diǎn)評(píng)：新概念題與恒成立問題是近年高考考查的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，新概念考查學(xué)生知識(shí)的組織能力，恒成立考查學(xué)生的函數(shù)應(yīng)用能力．