Question

設(shè)函數(shù)f（x）在R上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2005，2005]上的根的個(gè)數(shù)為（　　）

A．804

B．803

C．802

D．800

Answer 1

分析：根據(jù)周期函數(shù)性質(zhì)可知，只需求出一個(gè)周期里的根的個(gè)數(shù)，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)y=f（x）在[0，2005]上有402個(gè)解，在[-2005，0]上有400個(gè)解，綜合可得答案．

解答：解：由  f（x）在R上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），⇒f（x）=f（4-x），f（x）=f（14-x）⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）
又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0
故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個(gè)解，
從而可知函數(shù)y=f（x）在[0，2005]上有402個(gè)解，在[-2005，0]上有400個(gè)解，
所以函數(shù)y=f（x）在[-2005，2005]上有802個(gè)解．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性和根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．