定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)¹0，。

（1）求證：f(x)是偶函數(shù)；

（2）求證：f(x)為周期函數(shù)；

（3）若f(x)在[0，1]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求與的值。

 

答案：
解析：

（1）令x=y=0得2f(0)=2f2(0)，∴ f(0)f[(0)-1]=0。

∵ f(0)¹0，∴ f(0)=1．

∴ f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)�！� f(-y)=f(y)，∴ f(x)是偶函數(shù)。

（2）令，得，∴ f(x+1)=-f(x)．

∴ f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，

∴ f(x)為T=2的周期函數(shù)。

（3）令，得∴ 。

∵ f(x)在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，∴ ，∴ ，

∴ 。令x=y得f(2x)+f(0)=2[f(x)]2，∴ f(2x)=2[f(x)]2-1。令，得，∴ ，∵ ，∴ 。

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，
π
2
]時，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

20、已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當x∈（0，4）時，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為π，函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對稱中心都在f（x）圖象的對稱軸上．
（1）求f（x）的表達式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f（x）一定存在零點的區(qū)間是（　　）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案