若二項式(x
x
-
1
x
)6的展開式中第5項的值是5，則
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)的值是（　�。�
A、
1
2
B、-
1
4
C、2
D、不存在
分析：由題意可得5=C64(x
3
2
)2•(-
1
x
)4=15x，解得 x=3，再利用等比數(shù)列的求和公式可得，要求的式子為
lim
n→∞
1
x
(1-(
1
x
)n)
1-
1
x
=
lim
n→∞
1
3
(1-(
1
3
)n)
2
3
=
1
3
(1-0)
2
3
，運算得到結(jié)果．
解答：解：二項式(x
x
-
1
x
)6的展開式中第5項的值是5=C64(x
3
2
)2•(-
1
x
)4=15x，∴x=3．
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)=
lim
n→∞
1
x
(1-(
1
x
)n)
1-
1
x
=
lim
n→∞
1
3
(1-(
1
3
)n)
2
3
=
1
3
(1-0)
2
3
=
1
2
，
故選  A．
點評：本題考查二項展開式的通項公式，求展開式中的某項，等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列極限的運算法則，求出 x=3，是
解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若二項式(x
x
-
1
x
)6的展開式中第5項的值是5，則x=
 
，此時
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）若(x-
1
x
)n展開式中第5項、第6項的二項式系數(shù)最大，求展開式中x3的系數(shù)；
（2）在(x
x
+
1
x4
)n的展開式中，第3項的二項式系數(shù)比第2項的二項式系數(shù)大44，求展開式中的常數(shù)項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若二項式（
1
x
-x
x
）n的展開式中含有x4的項，則n的一個可能值是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：朝陽區(qū)一模 題型：填空題

若二項式(x
x
-
1
x
)6的展開式中第5項的值是5，則x=______，此時
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)=______．

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